Question

探究与发现：RtΔABC中，∠C=90°，点D、E分别是ΔABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠.

（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠=50°，则∠1+∠2=___________；

（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠、∠1、∠2之间有何关系？          

（3）若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），则∠、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由。

Answer

（1）140°；（2）∠1+∠2=90°+∠α；（3）见解析.

【解析】

试题分析：（1）连接PC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，再表示出∠1+∠2即可；

（2）方法与（1）相同；

（3）根据点P的位置，分D、E、P三点共线前、后和三点共线时三种情况，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和讨论求解．

试题解析：（1）如图，连接PC，

由三角形的外角性质，∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，

∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，

∵∠DPE=∠α=50°，∠C=90°，

∴∠1+∠2=50°+90°=140°，

（2）连接PC，

由三角形的外角性质，∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，

∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，

∵∠C=90°，∠DPE=∠α，

∴∠1+∠2=90°+∠α；

（3）如图1，由三角形的外角性质，∠2=∠C+∠1+∠α，

∴∠2-∠1=90°+∠α；

如图2，∠α=0°，∠2=∠1+90°；

如图3，∠2=∠1-∠α+∠C，

∴∠1-∠2=∠α-90°．

考点：1.三角形内角和定理；2.三角形的外角性质．