Question

某工厂投入生产一种机器的总成本为2000万元．当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）求该机器的生产数量；

（3）市场调查发现，这种机器每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间满足如图所示的函数关系．该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器40台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润．（注：利润=售价-成本）

Answer

（1） y=-x+65．10≤x≤70；（2） 50台；（3） 312.5万元.

【解析】

试题分析：（1）设y与x之间的关系式为y=kx+b，运用待定系数法就可以求出其关系式，由该机器生产数量至少为10台，但不超过70台就可以确定自变量的取值范围；

（2）根据每台的成本乘以生产数量等于总成本建立方程求出其解即可；

（3）设每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间的函数关系式为z=ma+n，运用待定系数法求出其解析式，再将z=25代入解析式求出a的值，就可以求出每台的利润，从而求出总利润．

试题解析：（1）设y与x之间的关系式为y=kx+b，由题意，得

，

解得：，

∴y=-x+65．

∵该机器生产数量至少为10台，但不超过70台，

∴10≤x≤70；

（2）由题意，得

xy=2000，

-x2+65x=2000，

-x2+130x-4000=0，

解得：x1=50，x2=80＞70（舍去）．

答：该机器的生产数量为50台；

（3）设每月销售量z（台）与售价a（万元∕台）之间的函数关系式为z=ma+n，由函数图象，得

，

解得：，

∴z=-a+90．

当z=25时，a=65，

成本y=-z+65=-×25+65=（万元）；

总利润为：25（65-）==312.5（万元）．

答：该厂第一个月销售这种机器的利润为312.5万元．

考点：一次函数的应用．