Question

如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．

（1）求证：CE=CF；

（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？

（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=24，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=8，求DE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）成立；（3）20.

【解析】

试题分析：（1）由正方形的性质可以得出BC=CD，∠B=∠ADC=90°，通过证明△CBE≌△CDF就可以得出结论；

（2）由条件可以得出∠BCE+∠DCG=45°，就可以得出∠DCG+∠DCF=45°，就有∠ECG=∠FCG=45°，通过证明△GCE≌△GCF就可以得出GE=GF，进而得出结论；

（3）连接DE，在R△AED中，由勾股定理就可以得出DE的值．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠B=∠ADC=∠BCD=90°．

∴∠CDF=∠B=90°．

在△CBE和△CDF中

，

∴△CBE≌△CDF，

∴CE=CF；

（2）∵△CBE≌△CDF，

∴∠BCE=∠DCF．

∵∠GCE=45°，

∴∠BCE+∠DCG=45°，

∴∠DCG+∠DCF=45°

∴∠ECG=∠FCG．

在GCE和△GCF中

，

∴GCE≌△GCF，

∴GE=GF．

∵GF=GD+DF，

∴GF=GD+BE，

∴GE=BE+GD；

（3）连接DE，

根据（1）（2）可知，ED=BE+DG，

设DE=x，则DG=x-8，

∴AD=AG-DG=32-x，AE=AB-BE=24-8=16．

在Rt△AED中

∵DE2=AD2+AE2，即x2=（32-x）2+162

解得：x=20．

∴DE=20．

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质．