Question

如图，抛物线y=x²+bx+c与y轴交于点C（0，-6），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（3，0）．

（1）求该抛物线的解析式．

（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．

（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．

Answer

（1） y=x2+x-6；（2）最大值为.（3）（-3，-3）或（-，-）．

【解析】

试题分析：（1）把B点和C点坐标分别代入y=x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；

（2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；

（3）分三种情况进行讨论即可.

试题解析：（1）把点C（0，-6），B（3，0）分别代入y=x2+bx+c中，

得b=1，c=-6，∴该抛物线的解析式为y=x2+x-6

（2）令y=0，即x2+x-6=0解得x1=-6，x2=3，∴A（-6，0），S△ABC=AB×OC=27．

设P点坐标为（x，0），则PB=3-x．∵PE∥AC，

∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，∴△PBE∽△BAC，

∴，得S△PBE=（3-x）2．

S△PCE=S△PCB-S△PBE=PB×OC-S△PBE=×（3-x）×6-（3-x）2

=-（x+）2+

∴当x=-时，S△PCE的最大值为.

（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：

（I）当DM=DO时，如答图①所示．DO=DM=DA=3，

∴∠OAC=∠AMD=45°，∴∠ADM=90°，

∴M点的坐标为（-3，-3）；

（II）当MD=MO时，如答图②所示．

过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，

∴DN=ON=，AN=AD+DN=，又△AMN为等腰直角三角形，

∴MN=AN=，∴M点的坐标为（-，-）；

（III）当OD=OM时，∵△OAC为等腰直角三角形，

∴点O到AC的距离为×6=3，即AC上的点与点O之间的最小距离为3．

∵3＞3，∴OD=OM的情况不存在．

综上所述，点M的坐标为（-3，-3）或（-，-）．

考点：二次函数综合题