Question

如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．

（1）求证：△ABG≌△C′DG；

（2）求tan∠ABG的值；

（3）求EF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2），（3） ．

【解析】

试题分析：（1）根据翻折变换的性质可知∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，故可得出结论；

（2）由（1）可知GD=GB，故AG+GB=AD，设AG=x，则GB=8-x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长，进而得出tan∠ABG的值；

（3）由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD=AD=4，再根据tan∠ABG即可得出EH的长，同理可得HF是△ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF=EH+HF即可得出结论．

试题解析：（1）∵△BDC′由△BDC翻折而成，

∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，

∴∠ABG=∠ADE，

在△ABG与△C′DG中，

∵，

∴△ABG≌△C′DG（AAS）；

（2）∵由（1）可知△ABG≌△C′DG，

∴GD=GB，

∴AG+GB=AD，

设AG=x，则GB=8-x，

在Rt△ABG中，

∵AB2+AG2=BG2，

即62+x2=（8-x）2，

解得x=，

∴tan∠ABG=；

（3）∵△AEF是△DEF翻折而成，

∴EF垂直平分AD，

∴HD=AD=4，

∴tan∠ABG=tan∠ADE=，

∴EH=HD×=4×=，

∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，

∴HF是△ABD的中位线，

∴HF=AB=×6=3，

∴EF=EH+HF=+3=．

考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.全等三角形的判定与性质；3.矩形的性质；4.解直角三角形．