Question

如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC．抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、C．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t．

①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时点P的坐标．

②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1） 抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；（2） ①（-1，4）或（-2，3）；②．

【解析】

试题分析：（1）先求出A、B、C的坐标，再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式；

（2）①由（1）的解析式可以求出抛物线的对称轴，分类讨论当∠CEF=90°时，当∠CFE=90°时，根据相似三角形的性质就可以求出P点的坐标；

②先运用待定系数法求出直线CD的解析式，设PM与CD的交点为N，根据CD的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PCD=S△PCN+S△PDN就可以表示出三角形PCD的面积，运用顶点式就可以求出结论．

试题解析：（1）在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO==3，

∴OB=3OA=3．

∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，

∴△DOC≌△AOB，

∴OC=OB=3，OD=OA=1，

∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（-3，0）．

代入解析式为，解得：．

∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；

（2）①∵抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，

∴对称轴l=-=-1，

∴E点的坐标为（-1，0）．

如图，当∠CEF=90°时，△CEF∽△COD．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（-1，4）；

当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFC∽△EMP．

∴，

∴MP=3EM．

∵P的横坐标为t，

∴P（t，-t2-2t+3）．

∵P在第二象限，

∴PM=-t2-2t+3，EM=-1-t，

∴-t2-2t+3=-（t-1）（t+3），

解得：t1=-2，t2=-3（因为P与C重合，所以舍去），

∴t=-2时，y=-（-2）2-2×（-2）+3=3．

∴P（-2，3）．

∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为：（-1，4）或（-2，3）；

②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得

，

解得：，

∴直线CD的解析式为：y=x+1．

设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t，t+1），

∴NM=t+1．

∴PN=PM-NM=-t2-2t+3-（t+1）=-t2-t+2．

∵S△PCD=S△PCN+S△PDN，

∴S△PCD=PNCM+PNOM

=PN（CM+OM）

=PNOC

=×3（-t2-t+2）

=-（t+）2+，

∴当t=-时，S△PCD的最大值为．

考点：二次函数综合题．