Question

如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F.将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N, 有下列四个结论：① DF=CF；② BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④ S_△BEF=3S_△DEF. 其中，正确的结论有（      ）

A．1个        B．2个       C．3个       D．4个

Answer

C

【解析】

试题分析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BCD=90°，由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，DF=MF，

即FM⊥BE，CF⊥BC， ∵BF平分∠EBC， ∴CF=MF， ∴DF=CF；故①正确；

∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF， ∴∠BFM=∠BFC， ∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，

∴∠BFE=∠BFN， ∵∠BFE+∠BFN=180°， ∴∠BFE=90°， 即BF⊥EN，故②正确；

∵在△DEF和△CNF中，∠D=∠FCN=90°，DF=CF，∠DFE=∠CFN∴△DEF≌△CNF（ASA），

∴EF=FN， ∴BE=BN， 但无法求得△BEN各角的度数， ∴△BEN不一定是等边三角形；故③错误；

∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF， ∴BM=BC=AD=2DE=2EM， ∴BE=3EM，

∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF；∴④正确.

考点：（1）、折叠图形的性质；（2）、三角形全等.