Question

教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图 (如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c )，大正方形的面积可以表示为c²，也可以表示为4×ab＋(a－b)²由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，那么a²＋b²＝c².

（1） 图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．

（2） 如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，则斜边AB上的高CD的长为________cm.

（3） 试构造一个图形，使它的面积能够解释(a＋b)(a＋2b)＝a²＋3ab＋2b²，画在图④的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．

Answer

（1）、证明过程见解析；（2）、；（3）、答案见解析

【解析】

试题分析：（1）、根据梯形的面积等于三个直角三角形的和，列出等式得出答案；（2）、根据等面积法得出高的长度；（3）、根据代数式的积的形式画出图形.

试题解析：（1）、梯形ABCD的面积为(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋b2， 也可表示为ab＋c2＋ab，

∴a2＋ab＋b2＝ab＋c2＋ab， 即a2＋b2＝c2.

（2）、

（3）、

考点：代数式的几何意义.