Question

已知抛物线p：和直线l:：

（1）对下列命题判断真伪，并说明理由：

①无论k取何实数值，抛物线p总与x轴有两个不同的交点；

②无论k取何实数值，直线l与y轴的负半轴没有交点；

（2）设抛物线p与y轴交点为C，与x轴的交点为A、B，原点O不在线段AB上；直线l与x轴的交点为D，与y轴交点为C₁，当OC₁＝OC＋2且OD²＝4AB²时，求出抛物线的解析式及最小值.

Answer

（1）、①、正确，理由见解析；②正确，理由见解析；（2）、，最小值为

【解析】

试题分析：（1）、①、根据一元二次方程根的判别式进行说明与x轴有交点；②、根据题意得出图象与y轴的交点，然后得出答案；（2）、首先分别求出OD和AB的长度，根据题意得出k的值，然后进行计算最值.

试题解析：（1）、①、正确

∵的解是抛物线与x轴的交点，

由判别式△＝＝＝

∴无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；

②、正确

∵直线与y轴交点坐标是(0，)

而无论k取何实数值≥0，∴直线与y轴的负半轴没有交点

（2）、∵|OD|＝|―k| ,|AB|＝ ∴OD2＝4AB2

解得 又∵OC1＝，OC＝＞0，∴＝＋2，解得

综上得k＝2，∴抛物线解析式为，最小值为

考点：二次函数的性质.