Question

菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，对角线AC，BD相交于点O，动点P在线段AC上从点A向点C运动，过P作PE∥AD，交AB于点E，过P作PF∥AB，交AD于点F，四边形QHCK与四边形PEAF关于直线BD对称. 设菱形ABCD被这两个四边形盖住部分的面积为S₁，AP＝x：

（1）对角线AC的长为      ；S_菱形ABCD＝      ；

（2）用含x的代数式表示S₁；

（3）设点P在移动过程中所得两个四边形PEAF与QHCK的重叠部分面积为S₂，当S₂＝S_菱形ABCD时，求x的值．

Answer

（1）、2；2；（2）、S=或S=；（3）、x=

【解析】

试题分析：（1）、根据菱形的性质得出AC和菱形的面积；（2）、本题分0≤x≤和＜x≤2两种情况分别进行计算，得出函数关系式；（3）、首先根据题意得出有重叠是x的取值范围，然后得出OP的长度，然后计算出重叠部分的面积与x的函数关系式，然后求出x的值.

试题解析：（1）、AC＝2；S菱形ABCD＝2

（2）、根据题设可知四边形PEAF是菱形，有一个角是60°，菱形的较短对角线与边长相等，

① 当0≤x≤时： ∵AP＝x，得菱形PEAF的边长AE＝EF＝x

S菱形PEAF＝APEF＝xx=， ∴S1＝2 S菱形PEAF＝

②当＜x≤2时：S1等于大菱形ABCD减去未被遮盖的两个小菱形，

由菱形PEAF的边长AE为x，∴BE＝2－x

∴S菱形BEMH＝2×＝

∴S1＝2－2S菱形BEMH＝

（3）、∵有重叠，∴＜x≤2，此时OP＝x－

∴重叠菱形QMPN的边长MP ＝MN＝

∴S2＝PQMN＝×2（x－）（）＝

令＝，解得x=，符合题意的是

考点：二次函数的实际应用.