Question

已知：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，

（1）若AB=2，∠AOD＝120º,求对角线AC的长；

（2）若AC＝2AB．求证：△AOB是等边三角形．

Answer

（1）4；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB=AC，根据邻补角的定义求出∠AOB，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OA=AB，然后求解即可；

（2）由矩形的性质易得：AC=2AO=2BO，又因为AC=2AB，所以AO=BO=AB，进而可证明△AOB是等边三角形．

试题解析：（1）∵矩形ABCD的两条对角线交于点O，

∴OA=OB=AC，

∵∠AOD=120°，

∴∠AOB=180°-∠AOD=180°-120°=60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴OA=AB=2，

∴AC=2OA=2×2=4；

（2）∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，AO=CO=AC，BO=DO=BD，

∴AO=BO=AC，

∵AC=2AB，

∴AO=BO=AB，

∴△AOB是等边三角形．

考点：1.矩形的性质；2.等边三角形的判定．