Question

如图，菱形ABCD的边长为48cm，∠A=60°，动点P从点A出发，沿着线路AB﹣BD做匀速运动，动点Q从点D同时出发，沿着线路DC﹣CB﹣BA做匀速运动．

（1）求BD的长；

（2）已知动点P、Q运动的速度分别为8cm/s、10cm/s．经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，试判断△AMN的形状，并说明理由，同时求出△AMN的面积；

（3）设问题（2）中的动点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，动点P的速度不变，动点Q的速度改变为a cm/s，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF为直角三角形，试求a的值．

Answer

（1）48cm；（2）288（cm2）；（3）若△BEF为直角三角形，a的值为4或12或24．

【解析】

试题分析：（1）根据菱形的性质得AB=BC=CD=AD=48，加上∠A=60°，于是可判断△ABD是等边三角形，所以BD=AB=48；

（2）如图1，根据速度公式得到12秒后点P走过的路程为96cm，则点P到达点D，即点M与D点重合，12秒后点Q走过的路程为120cm，而BC+CD=96，易得点Q到达AB的中点，即点N为AB的中点，根据等边三角形的性质得MN⊥AB，即△AMN为直角三角形，然后根据等边三角形面积可计算出S△AMN=288cm2；

（3）由△ABD为等边三角形得∠ABD=60°，根据速度公式得经过3秒后点P运动的路程为24cm、点Q运动的路程为3acm，所以BE=DE=24cm，

然后分类讨论：当点Q运动到F点，且点F在NB上，如图1，则NF=3a，BF=BN﹣NF=24﹣3a，由于△BEF为直角三角形，而∠FBE=60°，只能得到∠EFB=90°，所以∠FEB=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得24﹣3a=×24，解得a=4；当点Q运动到F点，且点F在BC上，如图2，则NF=3a，BF=BN﹣NF=3a﹣24，由于△BEF为直角三角形，而∠FBE=60°，若∠EFB=90°，则∠FEB=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得3a﹣24=×24，解得a=12；若∠EFB=90°，易得此时点F在点C处，则3a=24+48，解得a=24．

【解析】
（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD=48，

∵∠A=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD=AB=48，

即BD的长是48cm；

（2）如图1，12秒后点P走过的路程为8×12=96，则12秒后点P到达点D，即点M与D点重合，

12秒后点Q走过的路程为10×12=120，而BC+CD=96，所以点Q到B点的距离为120﹣96=24，则点Q到达AB的中点，即点N为AB的中点，

∵△ABD是等边三角形，而MN为中线，

∴MN⊥AB，

∴△AMN为直角三角形，

∴S△AMN=S△ABD=××482=288（cm2）；

（3）∵△ABD为等边三角形，

∴∠ABD=60°，

经过3秒后，点P运动的路程为24cm、点Q运动的路程为3acm，

∵点P从点M开始运动，即DE=24cm，

∴点E为DB的中点，即BE=DE=24cm，

当点Q运动到F点，且点F在NB上，如图1，则NF=3a，

∴BF=BN﹣NF=24﹣3a，

∵△BEF为直角三角形，

而∠FBE=60°，

∴∠EFB=90°（∠FEB不能为90°，否则点F在点A的位置），

∴∠FEB=30°，

∴BF=BE，

∴24﹣3a=×24，

∴a=4；

当点Q运动到F点，且点F在BC上，如图2，则NF=3a，

∴BF=BN﹣NF=3a﹣24，

∵△BEF为直角三角形，

而∠FBE=60°，

若∠EFB=90°，则∠FEB=30°，

∴BF=BE，

∴3a﹣24=×24，

∴a=12；

若∠EFB=90°，即FB⊥BD，

而DE=BE，

∴点F在BD的垂直平分线上，

∴此时点F在点C处，

∴3a=24+48，

∴a=24，

综上所述，若△BEF为直角三角形，a的值为4或12或24．