Question

如图，直线l₁在平面直角坐标系中，直线l₁与y轴交于点A，点B（﹣3，3）也在直线l₁上，将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，点C恰好也在直线l₁上．

（1）求点C的坐标和直线l₁的解析式；

（2）若将点C先向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点D，请你判断点D是否在直线l₁上；

（3）已知直线l₂：y=x+b经过点B，与y轴交于点E，求△ABE的面积．

Answer

（1）直线l1的解析式为y=﹣2x﹣3；（2）点D在直线l1上；（3）13.5．

【解析】

试题分析：（1）根据平移的性质得到点C的坐标；把点B、C的坐标代入直线方程y=kx+b（k≠0）来求该直线方程；

（2）根据平移的性质得到点D的坐标，然后将其代入（1）中的函数解析式进行验证即可；

（3）根据点B的坐标求得直线l2的解析式，据此求得相关线段的长度，并利用三角形的面积公式进行解答．

【解析】
（1）∵B（﹣3，3），将点B先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C，

∴﹣3+1=﹣2，3﹣2=1，

∴C的坐标为（﹣2，1），

设直线l1的解析式为y=kx+c，

∵点B、C在直线l1上，

∴代入得：

解得：k=﹣2，c=﹣3，

∴直线l1的解析式为y=﹣2x﹣3；

（2）∵将点C先向左平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点D，C（﹣2，1），

∴﹣2﹣3=﹣5，1+6=7，

∴D的坐标为（﹣5，7），

代入y=﹣2x﹣3时，左边=右边，

即点D在直线l1上；

（3）把B的坐标代入y=x+b得：3=﹣3+b，

解得：b=6，

∴y=x+6，

∴E的坐标为（0，6），

∵直线y=﹣2x﹣3与y轴交于A点，

∴A的坐标为（0，﹣3），

∴AE=6+3=9，

∵B（﹣3，3），

∴△ABE的面积为×9×|﹣3|=13.5．