Question

如图，已知直线AC∥BD，直线AB，CD不平行，点P在直线AB上，且和点A、B不重合．

（1）如图①，当点P在线段AB上时，若∠PCA=20°，∠PDB=30°，求∠CPD的度数；

（2）当点P在A、B两点之间运动时，∠PCA，∠PDB，∠CPD 之间满足什么样的等量关系？（直接写出答案）

（3）如图②，当点P在线段AB延长线上运动时，∠PCA，∠PDB，∠CPD 之间满足什么样的等量关系？并说明理由．

（4）当点P在线段BA延长线上运动时，∠PCA，∠PDB，∠CPD 之间满足什么样的等量关系？（直接写出答案）

Answer

（1）50°；（2）∠CPD=∠PCA+∠PDB；（3）∠CPD=∠CPF﹣∠DPF=∠PCA﹣∠PDB；（4）见解析

【解析】

试题分析：（1）如图①，过P点作PE∥AC交CD于E点，由于AC∥BD，则PE∥BD，根据平行线的性质得∠CPE=∠PCA=20°，∠DPE=∠PDB=30°，所以∠CPD=50°；

（2）证明方法与（1）一样；

（3）如图②，过P点作PF∥BD交CD于F点，由于AC∥BD，则PF∥AC，根据平行线的性质得∠CPF=∠PCA，∠DPF=∠PDB，所以∠CPD=∠PCA﹣∠PDB；

（4）如图③和④，类似（3）的说明方法易得∠PCA，∠PDB，∠CPD 之间满足什么样的等量关系．

【解析】
（1）如图①，过P点作PE∥AC交CD于E点，

∵AC∥BD

∴PE∥BD，

∴∠CPE=∠PCA=20°，∠DPE=∠PDB=30°，

∴∠CPD=∠CPE+∠DPE=50°；

（2）∠CPD=∠PCA+∠PDB（证明方法与（1）一样；

（3）∠CPD=∠PCA﹣∠PDB．理由如下：

如图②，过P点作PF∥BD交CD于F点，

∵AC∥BD，

∴PF∥AC，

∴∠CPF=∠PCA，∠DPF=∠PDB，

∴∠CPD=∠CPF﹣∠DPF=∠PCA﹣∠PDB；

（4）如图③，∠CPD=∠PDB﹣∠PCA；

如图④，∠CPD=∠PCA﹣∠PDB．

（证明方法与（3）类似．