Question

以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．

（1）说明BD=CE；

（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；

（3）若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）90°；（3）成立，见解析

【解析】

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，利用“SAS”可证明△ADB≌△AEC，则BD=CE；

（2）由△ADB≌△AEC得到∠ACE=∠DBA，利用三角形内角和定理可得到∠BFC=180°﹣∠ACE﹣∠CDF=180°﹣∠DBA﹣∠BDA=∠DAB=90°；

（3）与（1）一样可证明△ADB≌△AEC，得到BD=CE，∠ACE=∠DBA，利用三角形内角和定理得到∠BFC=∠CAB=90°．

【解析】
（1）∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，

∴AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，

∵在△ADB和△AEC中，

，

∴△ADB≌△AEC（SAS），

∴BD=CE；

（2）∵△ADB≌△AEC，

∴∠ACE=∠ABD，

而在△CDF中，∠BFC=180°﹣∠ACE﹣∠CDF

又∵∠CDF=∠BDA

∴∠BFC=180°﹣∠DBA﹣∠BDA

=∠DAB

=90°；

（3）BD=CE成立，且两线段所在直线互相垂直，即∠BFC=90°．理由如下：

∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°，

∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD

∴∠BAD=∠CAE，

∵在△ADB和△AEC中，

，

∴△ADB≌△AEC（SAS）

∴BD=CE，∠ACE=∠DBA，

∴∠BFC=∠CAB=90°．