Question

如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为AB的中点．

（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过      后，点P与点Q第一次在△ABC的      边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）

Answer

（1）见解析；（2）经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．

【解析】

试题分析：（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中BP、CQ和BD、PC边的长，根据SAS判定两个三角形全等．

②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；

（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个边长．

【解析】
（1）①全等，理由如下：

∵t=1秒，

∴BP=CQ=1×1=1厘米，

∵AB=6cm，点D为AB的中点，

∴BD=3cm．

又∵PC=BC﹣BP，BC=4cm，

∴PC=4﹣1=3cm，

∴PC=BD．

又∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴△BPD≌△CQP；

②假设△BPD≌△CQP，

∵vP≠vQ，

∴BP≠CQ，

又∵△BPD≌△CQP，∠B=∠C，则BP=CP=2，BD=CQ=3，

∴点P，点Q运动的时间t==2秒，

∴vQ===1.5cm/s；

（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，

由题意，得 1.5x=x+2×6，

解得x=24，

∴点P共运动了24s×1cm/s=24cm．

∵24=2×12，

∴点P、点Q在AC边上相遇，

∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇．