Question

如图，一次函数的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°；

（1）如果点P（m，）在第二象限内，试用含m的代数式表示四边形AOPB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；

（2）如果△QAB是等腰三角形并且点Q在坐标轴上，请求出点Q所有可能的坐标；

（3）是否存在实数a，b使一次函数和y=ax+b的图象关于直线y=x对称？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）m=﹣；（2）Q的坐标为（3，0）或（﹣1，0）或（0，﹣）或（0，+2）或（0，﹣2）或（0，）；（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）过点P作PD⊥x轴于D，根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，从而求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，然后求出∠ABO=30°，再根据S四边形AOPB=S梯形PDOB+S△AOB﹣S△PDO列式整理即可得解；根据S△APB=S四边形AOPB﹣S△AOP表示出△APB的面积，再解直角三角形求出AC，然后求出△ABC的面积，列出方程求解即可；

（2）分①点A是顶角顶点，AB是腰时，求出OQ的长度，②点B是顶角顶点，AB是腰时，求出OQ的长度，然后写出点Q的坐标，③AB是底边时，分点Q在y轴上和点Q在x轴上两种情况，利用等边三角形的性质求解；

（3）求出A、B两点关于直线y=x的对称点的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出a、b，然后代入代数式进行计算即可得解．

【解析】
（1）如图，过点P作PD⊥x轴于D，

∵点P（m，）在第二象限内，

∴PD=，OD=﹣m，

令y=0，则﹣x+=0，

解得x=1，

令x=0，则y=，

∴点A（1，0），B（0，），

∴OA=1，OB=，

由勾股定理得，AB===2，

∴∠ABO=30°，

S四边形AOPB=S梯形PDOB+S△AOB﹣S△PDO，

=×（+）（﹣m）+×1×﹣×（﹣m）×，

=﹣m+，

∴四边形AOPB的面积=﹣m+；

S△APB=S四边形AOPB﹣S△AOP，

=﹣m+﹣×1×，

=﹣m+，

∵∠ABC=30°，

∴AC=AB•tan30°=2×=，

∴S△ABC=×2×=，

∵△APB与△ABC面积相等，

∴﹣m+=，

解得m=﹣，

故，当△APB与△ABC面积相等时，m=﹣；

（2）①点A是顶角顶点，AB是腰时，AQ=AB=2，

若点Q在x正半轴，则OQ=AO+AQ=1+2=3，

若点Q在x轴负半轴，则OQ=AQ﹣AO=2﹣1=1，

若点Q在y轴负半轴，则OQ=BO=，

∴点Q的坐标为（3，0）或（﹣1，0）或（0，﹣），

②点B是顶角顶点，AB是腰时，BQ=AB=2，

若点Q在y轴正半轴，则OQ=BO+BQ=+2，

若点Q在y轴负半轴，则OQ=BQ﹣BO=2﹣，

若点Q在x轴负半轴，则OQ=AO=1，

∴点Q的坐标为（0，+2）或（0，﹣2）或（﹣1，0）；

③AB是底边时，若点Q在y轴上，则OQ=OA•tan30°=1×=，

若点Q在x轴上，则OQ=AO=1，

∴点Q的坐标为（0，）或（﹣1，0），

综上所述，△QAB是等腰三角形时，坐标轴上点Q的坐标为（3，0）或（﹣1，0）或（0，﹣）或（0，+2）或（0，﹣2）或（0，）；

（3）∵A（1，0）关于y=x的对称点为（0，1），

B（0，）关于y=x的对称点为（，0），

∴，

解得，

∴==，

=，

=，

=﹣．