Question

如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B₂D₁C₁的面积为S₁，△B₃D₂C₂的面积为S₂，…，△B_n+1D_nC_n的面积为S_n，则S₂=     ；S_n=     ．（用含n的式子表示）

Answer

S2=；Sn=．

【解析】

试题分析：由三角形的相似性可求得S2、S3、S4的值，则Sn的值也可用含n的式子表示出来．

【解析】
由于各三角形为等边三角形，且各边长为2，过各三角形的顶点B1、B2、B3…向对边作垂线，垂足为M1、M2、M3，

∵△AB1C1是等边三角形，

∴AD1=AC1•sin60°=2×=，

∵△B1C1B2也是等边三角形，

∴C1B1是∠AC1B2的角平分线，

∴AD1=B2D1=，

故S1=S△B2C1A﹣S△AC1D1=×2×﹣×2×=；

S2=S△B3C2A﹣S△AC2D2=×4×﹣×4×=2﹣=；

作AB∥B1C1，使AB=AB1，连接BB1，则B2，B3，…Bn在一条直线上．

∵Bn Cn∥AB，

∴==，

∴BnDn=•AB=，

则DnCn=2﹣BnDn=2﹣=．

△BnCnBn+1是边长是2的等边三角形，因而面积是：．

△Bn+1DnCn面积为Sn=•=•=．

即第n个图形的面积Sn=．