Question

如图1，两个等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上，DE=2，AB=1．将直线EB绕点E逆时针旋转45°，交直线AD于点M．将图1中的三角板ABC沿直线l向右平移，设C、E两点间的距离为k．

解答问题：

（1）①当点C与点F重合时，如图2所示，可得的值为      ；

②在平移过程中，的值为     （用含k的代数式表示）；

（2）将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A落在线段DF上时，如图3所示，请补全图形，计算的值；

（3）将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转α度，0＜α≤90，原题中的其他条件保持不变．计算的值（用含k的代数式表示）．

Answer

（1）①=1；②=；（2）．（3）．

【解析】

试题分析：（1）①根据题意可得EM垂直平分DF，直线AF∥EM，从而转化为，继而得出结论；②仿照①的思路进行求解即可；

（2）先补全图形，连接AE，分别求出AM及DM的值，然后可确定比值．

（3）先画出图形，然后证明△ABG≌△CBE，继而推出AG∥DE，△AGM∽△DEM，利用相似三角形的性质即可得出答案．

【解析】
（1）①如图，

∵∠MEB=45°，∠AFB=45°，

∴EM垂直且平分DF，AF∥EM，

∴==1；

②如图

由①可得====；

（2）连接AE，

∵△ABC，△DEF均为等腰直角三角形，DE=2，AB=1，

∴EF=2，BC=1，∠DEF=90°，∠4=∠5=45°

∴DF=2，AC=，∠EFB=90°，

∴DF=2AC，AD=，

∴点A为CD的中点，

∴EA⊥DF，EA平分∠DEF，

∴∠MAE=90°，∠AEF=45°，AE=，

∵∠BEM=45°，

∴∠1+∠2=∠3+∠2=45°，

∴∠1=∠3，

∴△AEM∽△FEB，

∴，

∴AM=，

∴DM=AD﹣AM=，

∴．

（3）过B作BE的垂线交直线EM于点G，连接AG、BG，

，

∴∠EBG=90°，

∵∠BEM=45°，

∴∠EGB=∠BEM=45°，

∴BE=BG，

∵△ABC为等腰直角三角形，

∴BA=BC，∠ABC=90°，

∴∠1=∠2，

∴△ABG≌△CBE，

∴AG=EC=k，∠3=∠4，

∵∠3+∠6=∠5+∠4=45°，

∴∠6=∠5，

∴AG∥DE，

∴△AGM∽△DEM，

∴．