Question

如图1，已知直线y=x﹣2与x轴、y轴交于点B、A，过A、B两点分別作y轴、x轴的垂线交于点F，点C为BF的中点，双曲线y= （x＞0），经过点C．

（1）如图1，写出F点的坐标，并求出双曲线的解折式．

（2）如图1，过F点作直线，是否存在这样的直线，它与双曲线两个交点的距离为2；

（3）如图2，过F点作直线，交双曲线于D，E，分别过D、E作直线y=x﹣2的垂线，垂足分別为M，N，直线OF交直线M，N 于Q点，求证：直线DN平分线段QF．

（参考公式：①在平面直角坐标系中，已知点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A、B两点之间的距离为丨AB丨=；②如果实数x＞0，y＞0，那么x+y≥2，当且仅当x=y时取等号）

Answer

（1）y=﹣．

（2）不存在直线l与双曲线两交点的距离是2．

（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）根据直线y=x﹣2与x轴、y轴交于点B、A，可求出点A、B的坐标，由此即可得出点F的坐标，再由点C为BF的中点，求出点C的坐标，结合点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出双曲线的解析式；

（2）假设存在，设出该直线的解析式为y=kx+b（k＞0），由点F在该直线上可用k表示出b值，将直线解析式代入双曲线解析式中找出关于x的一元二次方程，设两交点为P1（x1，y1）、P2（x2，y2），根据根与系数的关系可找出x1+x2=，x1•x2=，由此即可套用两点间的距离公式求出P1 P2，令其等于2，可得出关于k的一元二次方程，再由根的判别式得出该方程无解，从而得出假设不成了，由此即可得出结论；

（3）过E作EG∥x轴交直线y=x﹣2于G，设E点坐标为（x，y），G点坐标为（x0，y），由两点间的距离公式求出线段EF、EG，从而得出△EGN为等腰直角三角形，再根据平行线的性质找出各线段间的比例关系，从而得出FK=QK，此题得解．

【解析】
（1）∵直线y=x﹣2与x轴、y轴交于点B、A，

∴点B（2，0），点A（0，﹣2），

∵过A、B两点分別作y轴、x轴的垂线交于点F，

∴点F（2，﹣2）．

∵点C为BF的中点，

∴点C（2，﹣1），

∵双曲线y= （x＞0）经过点C，

∴m=2×（﹣1）=﹣2，

∴双曲线的解折式为y=﹣．

（2）假设存在，直线l：y=kx+b（k＞0），

∵点F（2，﹣2）在直线l上，

∴﹣2=2k+b，b=﹣2k﹣2，

∴y=kx﹣2k﹣2．

将y=kx﹣2k﹣2代入y=﹣中，得：kx﹣2k﹣2=﹣，

整理得：kx2﹣2（k+1）x+2=0，

设两交点为P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则由根与系数的关系得：

x1+x2=，x1•x2=，

∴P1 P2======，

∵P1 P2=2，k＞0，则=2，

即k2﹣k+1=0，

∵△=﹣3＜0，

∴此方程无实根，即假设不成立．

故不存在直线l与双曲线两交点的距离是2．

（3）证明：过E作EG∥x轴交直线y=x﹣2于G，则△EGN为等腰直角三角形，如图所示．

设E点坐标为（x，y），G点坐标为（x0，y），

∵G（x0，y）在直线直线y=x﹣2上，

∴y=x0﹣2，

又∵点E（x，y）在双曲线C：y=﹣（x＞0）上，

∴﹣=x0﹣2，即：x0=﹣+2，

所以EG=x﹣x0=x+﹣2，

又∵EF=====|x+﹣2|，

∵x+y≥2（x＞0，y＞0），

∴x+≥2=2（x＞0，当且仅当x=时，不等式取等号），

∴EF=|x+﹣2|=x+﹣2，即EG=EF，

∴△EGN为等腰直角三角形，

∴ED=EN，

同理可得：DF=DM．

设EN=a，DM=b，

∴EF=a，DF=b．

∵EN⊥AB，OF⊥AB，

∴FQ∥EN，

∴．

∴FK===．

同理可得：FK∥DM，

∴，

∴QK===．

∴FK=QK，

∴直线DN平分线段QF．