Question

如图，AB为⊙O直径，E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于C点，过C点作CD⊥AE的延长线于D点，直线CD与射线AB交于P点．

（1）求证：DC为⊙O切线；

（2）若DC=1，AC=，①求⊙O半径长；②求PB的长．

Answer

（1）见解析；（2）⊙O半径长为；

【解析】

试题分析：（1）连结OC，如图，由AC平分∠EAB得到∠1=∠2，加上∠2=∠3，则∠1=∠3，于是可判断OC∥AD，由于CD⊥AD，所以OC⊥CD，则根据切线的判定定理得到DC为⊙O切线；

（2）①连结BC，如图，在Rt△ACD中利用勾股定理计算出AD=2，再Rt△ACD∽Rt△ABC，利用相似比计算出AB=，从而得到⊙O半径长为；

②证明△EOC∽△EAD，然后利用相似比可计算出BE的长．

（1）证明：连结OC，如图，

∵AC平分∠EAB，

∴∠1=∠2，

∵OA=OC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴OC∥AD，

∵CD⊥AD，

∴OC⊥CD，

∴DC为⊙O切线；

（2）【解析】
①连结BC，如图，

在Rt△ACD中，∵CD=1，AC=，

∴AD==2，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠1=∠2，

∴Rt△ACD∽Rt△ABC，

∴AC：AB=AD：AC，即：AB=2：，

∴AB=，

∴⊙O半径长为；

②∵OC∥AD，

∴△EOC∽△EAD，

∴=，即=，

∴BE=．