Question

如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数的图象交于点P，点P在第一象限，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S_△PBD=4，．

（1）求点D的坐标及BD长；

（2）求一次函数与反比例函数的解析式；

（3）根据图象直接写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围；

（4）若双曲线上存在一点Q，使以B、D、P、Q为顶点的四边形是直角梯形，请直接写出符合条件的Q点的坐标．

Answer

（1）点D的坐标是（0，2），BD的长是4．（2）一次函数的解析式是y=2x+2，反比例函数的解析式是y=；（3）x的取值范围是x＞2．（4）Q（6，2）．

【解析】

试题分析：（1）把x=0代入y=kx+2即可求出D的坐标；根据相似三角形的判定得出=，求出AP，即可求出BD；

（2）根据三角形PBD的面积求出P的坐标，把P的坐标分别代入一次函数和反比例函数的解析式求出即可；

（3）根据图象上P的坐标求出即可；

（4）作DQ∥x轴，把y=2代入反比例函数的解析式，求出即可．

【解析】
（1）在y=kx+2中，当x=0，得：y=2，

∴点D的坐标是（0，2），

∵AP∥OD，

∴△PAC∽△DOC，

∵=，

∴==，

∴AP=6，

∵BD=6﹣2=4，

答：点D的坐标是（0，2），BD的长是4．

（2）∵S△PBD=PB•BD=×PB×4=4，

∴BP=2，

∴P（2，6），

把P（2，6）分别代入y=kx+2和y=得：k=2，m=12，

∴一次函数的解析式是y=2x+2，反比例函数的解析式是y=，

（3）由图形可知一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围是x＞2．

（4）Q（6，2）．