Question

如图，等腰三角形OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，8），OA=OB，动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，动点Q从原点O出发，沿y轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于E，F，设动点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也停止运动，他们运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）点E的坐标为           ，F的坐标为              ；

（2）当t为何值时，四边形POFE是平行四边形；

（3）是否存在某一时刻，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（t，t），（10﹣t，t）；

（2）当t为时，四边形POFE是平行四边形；

（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）过点A作AD⊥OB，由点A的坐标为（6，8），可得OD=6，AD=8，然后由勾股定理得：OA=10，由OA=OB可得：OB=10，进而可得：BD=4，进而可得点B的坐标为：（10，0），然后设OA的关系式：y=kx，然后将A（6，8）代入即可得直线OA的关系式，然后设直线AB的关系式为：y=kx+b，然后将A，B两点代入，即可确定直线AB的关系式，由过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于E，F，可知点Q、E、F三点的纵坐标相等均为t，然后由点E在OA上，点F在AB上，将点E、F的纵坐标分别代入对应的关系式，即可得到得到点E、F的坐标；

（2）由EF∥OP，欲使四边形POFE是平行四边形，只需EF=OP即可，从而可得关于t的等式，解答即可；

（3）分三种情况讨论：①PE⊥EF，②PE⊥PF，③EF⊥PF即可．

【解析】
（1）过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图1，

∵点A的坐标为（6，8），

∴OD=6，AD=8，

由勾股定理得：OA=10，

∵OA=OB，

∴OB=10，

∴BD=4，

∴点B的坐标为：（10，0），

设直线OA的关系式：y=kx，

将A（6，8）代入上式，得：

6k=8，

解得：k=，

所以直线OA的关系式：y=x，

设直线AB的关系式为：y=kx+b，

将A，B两点代入上式得：

，

解得：，

所以直线AB的关系式为：y=﹣2x+20，

∵过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于E，F，

∴点Q、E、F三点的纵坐标相等，

∵动点Q从原点O出发，沿y轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，

动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，

∴t秒后，OQ=t，OP=2t，

∴Q、E、F三点的纵坐标均为t，

将点E的纵坐标t代入y=x，得：x=t，

∴E点的坐标为：（，t），

将点E的纵坐标t代入y=﹣2x+20，得：x=10﹣t，

∴F点的坐标为：（10﹣t，t），

故答案为：（t，t），（10﹣t，t）；

（2）由（1）知：E（t，t），F（10﹣t，t），

∴EF=10﹣t﹣t=10﹣t，

∵四边形POFE是平行四边形，

∴EF∥OP，且EF=OP，

即10﹣t=2t，

解得：t=，

∴当t为时，四边形POFE是平行四边形；

（3）过点E作EM⊥OB，垂足为M，过点F作FN⊥OB，垂足为N，

可得四边形EMNF是矩形，如图2，

①当PE⊥PF时，PE2+PF2=EF2，

由（1）知：OM=t，EM=FN=t，ON=10﹣t，EF=10﹣，

∴PM=，PN=10﹣，

∵PE2=ME2+MP2，PF2=PN2+FN2，

∴t2+（t）2+（10﹣t）2+t2=（10﹣）2，

解得：t1=0（舍去），t2=；

②当PE⊥EF时，如图3，可得四边形EPNF是矩形，

∵四边形EPNF是矩形，

∴EF=PN，

即：EF=ON﹣OP，

∴10﹣=10﹣﹣2t，

解得t=0（舍去）；

③当EF⊥PF时，如图4，可得四边形EMPF是矩形，

∵四边形EMPF是矩形，

∴EF=MP，

即EF=OP﹣OM，

∴10﹣=2t﹣t，

解得：t=4，

∴当t=和4时，使△PEF为直角三角形．