Question

问题背景

已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A、B不重合），点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点．

（1）初步尝试

如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等．求证：HF=AH+CF．

小王同学发现可以由以下两种思路解决问题：

思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立；

思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立．

请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答，则以第一种方法评分）；

（2）类比探究

如图2，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且点D，E的运动速度之比是：1，求的值；

（3）延伸拓展

如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记=m，且点D，E的运动速度相等，试用含m的代数式表示（直接写出结果，不必写解答过程）．

Answer

（1）见解析；（2）=2；（3）．

【解析】

试题分析：（1）过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证明△ADG是等边三角形，得出GD=AD=CE，再证明GH=AH，由ASA证明△GDF≌△CEF，得出GF=CF，即可得出结论；

（2）过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证出AH=GH=GD，AD=GD，由题意AD=CE，得出GD=CE，再证明△GDF≌△CEF，得出GF=CF，即可得出结论；

（3）过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证出 DG=DH=AH，再证明△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，△DGH∽△ABC，得出==m，===m，△DGH∽△ABC，得出==m，=m，证明△DFG∽△EFC，得出==m，=m，=，即可得出结果．

（1）证明（选择思路一）：过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图1所示：

则∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠ACB=60°，

∴∠ADG=∠AGD=∠A，

∴△ADG是等边三角形，

∴GD=AD=CE，

∵DH⊥AC，

∴GH=AH，

∵DG∥BC，

∴∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，

在△GDF和△CEF中，

，

∴△GDF≌△CEF（ASA），

∴GF=CF，

∴GH+GF=AH+CF，

即HF=AH+CF；

（2）【解析】
过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图2所示：

则∠ADG=∠B=90°，

∵∠BAC=∠ADH=30°，

∴∠HGD=∠HDG=60°，

∴AH=GH=GD，AD=GD，

根据题意得：AD=CE，

∴GD=CE，

∵DG∥BC，

∴∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，

在△GDF和△CEF中，

，

∴△GDF≌△CEF（ASA），

∴GF=CF，

∴GH+GF=AH+CF，

即HF=AH+CF，

∴=2；

（3）【解析】
=，理由如下：

过点D作DG∥BC，交AC于点G，如图3所示：

则∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，AD=EC，

∵AB=AC，∠BAC=36°，

∴∠ACB=∠B=∠ADG=∠AGD=72°，

∵∠ADH=∠BAC=36°，

∴AH=GH，∠DHG=72°=∠AGD，

∴DG=DH=AH，△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，

∴==m，===m，

∴△DGH∽△ABC，

∴==m，

∴=m，

∵DG∥BC，

∴△DFG∽△EFC，

∴==m，

∴=m，

即=m，

∴=，

∴==+1=．