Question

如图，已知抛物线y=﹣x²+bx+C的图象过点A（﹣3，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）探究：在抛物线的对称轴DE上是否存在点P，使得点P到直线AD和到x轴的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）探究：在对称轴DE左侧的抛物线上是否存在点F，使得2S_△FBC=3S_△EBC？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）y=﹣x2﹣2x+3，（2）存在，P点坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣﹣1）；（3）点F的坐标是（，）．

【解析】

试题分析：（1）把A、C两点坐标代入可求得b、c，可求得抛物线解析式；

（2）当点P在∠DAB的平分线上时，过P作PM⊥AD，设出P点坐标，可表示出PM、PE，由角平分线的性质可得到PM=PE，可求得P点坐标；当点P在∠DAB外角平分线上时，同理可求得P点坐标；

（3）可先求得△FBC的面积，过F作FQ⊥x轴，交BC的延长线于Q，可求得FQ的长，可设出F点坐标，表示出B点坐标，从而可表示出FQ的长，可求得F点坐标．

【解析】

（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），

∴，解得，

∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3，

（2）存在，

当P在∠DAB的平分线上时，如图1，作PM⊥AD，

设P（﹣1，m），则PM=PD•sin∠ADE=（4﹣m），PE=m，

∵PM=PE，

∴（4﹣m）=m，m=﹣1，

∴P点坐标为（﹣1，﹣1）；

当P在∠DAB的外角平分线上时，如图2，作PN⊥AD，

设P（﹣1，n），则PN=PD•sin∠ADE=（4﹣n），PE=﹣n，

∵PN=PE，

∴（4﹣n）=﹣n，n=﹣﹣1，

∴P点坐标为（﹣1，﹣﹣1）；

综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣﹣1）；

（3）∵抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3，

∴B（1，0），

∴S△EBC=•EB•OC=3，

∵2S△FBC=3S△EBC，

∴S△FBC=，

过F作FQ⊥x轴于点H，交BC的延长线于Q，过F作FM⊥y轴于点M，如图3，

∵S△FBC=S△BQH﹣S△BFH﹣S△CFQ

=•HB•HQ﹣•BH•HF﹣QF•FM

=•BH（HQ﹣HF）﹣•QF•FM

=•BH•QF﹣QF•FM

=•QF•（BH﹣FM）

=•FQ•OB

=，

∴FQ=9，

∵BC的解析式为y=﹣3x+3，

设F（x0，﹣x02﹣2x0+3），

∴﹣3x0+3+x02+2x0﹣3=9，

解得：x0=或（舍去），

∴点F的坐标是（，）．