Question

如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x²+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）Q点的坐标为（0，0）或（，0）．

【解析】

试题分析：（1）先确定出点B，C坐标，再用待定系数法求函数解析式；

（2）先求出BA=2，BC=3，BP=，然后分两种情况①由△ABC∽△PBQ，得到，求出BQ，②由△ABC∽△QBP得，求出BQ，即可．

【解析】
（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，

令x=0，得y=3，

∴C（0，3），

令y=0，得x=3，

∴B（3，0），

∵经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c

∴，

解得，

∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；

（2）由（1），得A（1，0），连接BP，

∵∠CBA=∠ABP=45°，

∵抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；

∴P（2，﹣1），

∵A（1，0），B（3，0），C（0，3），

∴BA=2，BC=3，BP=，

当△ABC∽△PBQ时，

∴，

∴，

∴BQ=3，

∴Q（0，0），

当△ABC∽△QBP时，

∴，

∴，

∴BQ=，

∴Q（，0），

∴Q点的坐标为（0，0）或（，0）．