Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，点D是斜边AB的中点，△ABC绕点C旋转，使得点B落在射线CD上，点A落在点A′，那么AA′的长是     ．

Answer

．

【解析】

试题分析：先根据勾股定理计算出BC=6，由点D是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DC=DB，则∠DCB=∠B，再根据旋转的性质得∠B=∠B′，CA=CA′=8，AB=A′B′=10，∠ACB=∠A′CB′=90°，则∠B′=∠DCB，得到A′B′∥BC，所以A′B′⊥AC，利用面积法可计算出CE=，AE=AC﹣CE=，然后在Rt△A′CE中，利用勾股定理计算出A′E=，再在Rt△AA′E中利用勾股定理可计算出AA′．

【解析】
设AC与A′B′的交点为E，如图，

∵∠C=90°，AB=10，AC=8，

∴BC==6，

∵点D是斜边AB的中点，

∴DC=DB，

∴∠DCB=∠B，

∵△ABC绕点C旋转，使得点B落在射线CD上，点A落在点A′，

∴∠B=∠B′，CA=CA′=8，AB=A′B′=10，∠ACB=∠A′CB′=90°，

∴∠B′=∠DCB，

∴A′B′∥BC，

而∠ACB=90°，

∴A′B′⊥AC，

CE•A′B′=A′C•CB′，

∴CE=，

∴AE=AC﹣CE=8﹣=，

在Rt△A′CE中，A′E==，

在Rt△AA′E中，AA′===；

故答案为：．