Question

已知：如图，在菱形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在BC的延长线上，EF=EB，EF与CD相交于点G．

（1）求证：EG•GF=CG•GD；

（2）连接DF，如果EF⊥CD，那么∠FDC与∠ADC之间有怎样的数量关系？证明你所得到的结论．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）连接ED，首先证明△BCE≌△DCE，得∠EDC=∠EBC；利用此条件再证明∠DGE∽△FGC，即可得到EG•GF=CG•GD．

（2）利用第一题的结论，可证明△DGE∽△FGC，再利用三角形内角外角关系即可得到∠ADC与∠FDC的关系．

（1）证明：连接ED，（1分）

∵点E在菱形ABCD的对角线AC上，

∴∠ECB=∠ECD，（2分）

∵BC=CD，CE=CE，

∴△BCE≌△DCE；（3分）

∴∠EDC=∠EBC，（4分）

∵EB=EF，

∴∠EBC=∠EFC；（5分）

∴∠EDC=∠EFC；（6分）

∵∠DGE=∠FGC，

∴△DGE∽△FGC；（7分）

∴=，∴EG•GF=CG•GD；（8分）

（2）【解析】
∠ADC=2∠FDC．（9分）

证明如下：∵=，∠DGF=∠EGC，

∴△CGE∽△FGD；（10分）

∵EF⊥CD，DA=DC，

∴∠DAC=∠DCA=∠DFG=90°﹣∠FDC，（11分）

∴∠ADC=180°﹣2∠DAC=180°﹣2（90°﹣∠FDC）=2∠FDC．（12分）