Question

如图，在直角坐标平面内，直线y=﹣x+5与x轴和y轴分别交于A、B两点，二次函数y=x²+bx+c的图象经过点A、B，且顶点为C．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求sin∠OCA的值；

（3）若P是这个二次函数图象上位于x轴下方的一点，且△ABP的面积为10，求点P的坐标．

Answer

（1）抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；（2）sin∠OCA=；（3）P（4，﹣3）．

【解析】

试题分析：（1）根据直线方程求得点A、B的坐标；然后把点A、B的坐标代入二次函数解析式，通过方程组来求系数b、c的值；

（2）如图，过点C作CH⊥x轴交x轴于点H，构建等腰△AOC．则∠OAC=∠OCA，故sin∠OCA=；

（3）如图，过P点作PQ⊥x轴并延长交直线y=﹣x+5于Q．设点P（m，m2﹣6m+5），Q（m，﹣m+5），则PQ=﹣m+5﹣（m2﹣6m+5）=﹣m2+5m．由S△ABP=S△PQB+S△PQA得到：，则易求m的值．注意点P位于第四象限．

【解析】
（1）由直线y=﹣x+5得点B（0，5），A（5，0），

将A、B两点的坐标代入y=x2+bx+c，得

，

解得，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；

（2）如图，过点C作CH⊥x轴交x轴于点H．

由（1）知，抛物线的解析式为：y=x2﹣6x+5，则配方 得y=（x﹣3）2﹣4，

∴点C（3，﹣4），

∴CH=4，AH=2，AC=，

∴OC=5．

∵OA=5，

∴OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴sin∠OCA=；

（3）如图，过P点作PQ⊥x轴并延长交直线y=﹣x+5于Q．

设点P（m，m2﹣6m+5），Q（m，﹣m+5），则PQ=﹣m+5﹣（m2﹣6m+5）=﹣m2+5m．

∵S△ABP=S△PQB+S△PQA=PQ•OA，

∴，

∴m1=1，m2=4，

∴P（1，0）（舍去），P（4，﹣3）．