Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，tan∠ABC=，点O是AB边上动点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与边BC的另一交点为D，过点D作AB的垂线，交⊙O于点E，联结BE、AE

（1）当AE∥BC（如图（1））时，求⊙O的半径长；

（2）设BO=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（3）若以A为圆心的⊙A与⊙O有公共点D、E，当⊙A恰好也过点C时，求DE的长．

Answer

（1）⊙O的半径长为；（2）y=（0＜x≤）；（3）综上所述：当⊙A恰好也过点C时，DE的长为或12．

【解析】

试题分析：（1）过点O作OG⊥BD于G，设AB与DE的交点为F，如图（1），易证△AEF≌△BDF及四边形AEDC是平行四边形，从而可得BD=DC=5，根据垂径定理可得BG=DG=BD=，然后在Rt△BGO中运用三角函数和勾股定理即可求出⊙O的半径长；

（2）过点A作AH⊥BC于H，如图（2），运用三角函数、勾股定理及面积法可求出AC、AB、AH、BH、CH，根据垂径定理可得DF=EF，再根据线段垂直平分线的性质可得AE=AD．然后在Rt△BGO中运用三角函数和勾股定理可求出BG（用x的代数式表示），进而可用x的代数式依次表示出BD、DH，AD、AE，问题得以解决；

（3）①若点D在H的左边，如图（2），根据等腰三角形的性质可得DH=CH，从而依次求出BD、DF、DE的长；②若点D在H的右边，则点D与点C重合，从而可依次求出BD、DF、DE的长．

【解析】
（1）过点O作OG⊥BD于G，设AB与DE的交点为F，如图（1），

根据垂径定理可得BG=DG．

∵AE∥BC，∴∠AEF=∠BDF．

在△AEF和△BDF中，

，

∴△AEF≌△BDF，

∴AE=BD．

∵∠BFD=∠BAC=90°，

∴DE∥AC．

∵AE∥BC，

∴四边形AEDC是平行四边形，

∴AE=DC，

∴BD=DC=BC=5，

∴BG=DG=BD=．

在Rt△BGO中，

tan∠OBG==，

∴OG=BG=×=，

∴OB===，

∴⊙O的半径长为；

（2）过点A作AH⊥BC于H，如图（2），

在Rt△BAC中，

tan∠ABC==，

设AC=3k，则AB=4k，

∴BC=5k=10，

∴k=2，

∴AC=6，AB=8，

∴AH===，

∴BH===，

∴HC=BC﹣BH=10﹣=．

∵AB⊥DE，

∴根据垂径定理可得DF=EF，

∴AB垂直平分DE，

∴AE=AD．

在Rt△BGO中，

tan∠OBG==，

∴OG=BG，

∴OB===BG=x，

∴BG=x，

∴BD=2BG=，

∴DH=BH﹣BD=﹣x，

∴y=AE=AD=

=

=（0＜x≤）；

（3）①若点D在H的左边，如图（2），

∵AD=AC，AH⊥DC，

∴DH=CH=，

∴BD=BH﹣DH=﹣=．

在Rt△BFD中，

tan∠FBD==，

∴BF=DF，

∴BD=

=

=DF=，

∴DF=，

∴DE=2DF=；

②若点D在H的右边，

则点D与点C重合，

∴BD=BC=10，

∴DF=10，

∴DF=6，

∴DE=2DF=12．

综上所述：当⊙A恰好也过点C时，DE的长为或12．