Question

如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=3EQ；④若P是AD的中点，则矩形ABCD为正方形．其中正确的是（  ）

A．①④    B．①③    C．②③    D．①③④

Answer

B

【解析】

试题分析：求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根据翻折的性质求出∠BEF=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出①正确；利用30°角的正切值求出PF=PE，判断出②错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出③正确；求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到△PBF是等边三角形，进而得出2AP≠AB，故AD≠AB，即矩形ABCD不是正方形，判断出④错误．

【解析】
∵AE=AB，

∴BE=2AE，

由翻折的性质得，PE=BE，

∴∠APE=30°，

∴∠AEP=90°﹣30°=60°，

∴∠BEF=（180°﹣∠AEP）=（180°﹣60°）=60°，

∴∠EFB=90°﹣60°=30°，

∴EF=2BE，故①正确；

∵BE=PE，

∴EF=2PE，

∵EF＞PF，

∴PF＜2PE，故②错误；

由翻折可知EF⊥PB，

∴∠EBQ=∠EFB=30°，

∴BE=2EQ，EF=2BE，

∴FQ=3EQ，故③正确；

由翻折的性质，∠EFB=∠EFP=30°，

则∠BFP=30°+30°=60°，

∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，

∴∠PBF=∠PFB=60°，

∴△PBF是等边三角形，

则AP=AB，

即2AP≠AB，故AD≠AB，

∴矩形ABCD不是正方形．

故④错误；

故选：B．