Question

合作学习：如图，矩形ABOD的两边OB，OD都在坐标轴的正半轴上，OD=2，另两边与反比例函数y=（k≠0）的图象分别相交于点E，F，且DE=1，过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥EH于点G．回答下列问题：

①该反比例函数的解析式是什么？

②当四边形AEGF为正方形时，点F的坐标是多少？

③阅读合作学习内容，请解答其中的问题；

小亮进一步研究四边形AEGF的特征后提出问题：“当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能否全等？能否相似？”请回答小亮的问题，并说明理由．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：①先确定出点E的坐标，用待定系数法求函数解析式；

②设出正方形的边长，由正方形的性质，表示出点F的坐标，利用点F在反比例函数图象上，即可；

③Ⅰ、假设两矩形全等，求出点F的坐标，判定点F是否在反比例函数图象上，点F在反比例函数图象上，能全等，不在反比例函数图象上，不能全等，即可；

Ⅱ、假设两矩形相似，利用相似得到的比例式求出点F的坐标即可．

【解析】
①由题意得E（1，2），

∵点E在反比例函数图象上，

∴k=1×2=2，

∴反比例函数的解析式，

②设正方形AEGF的边长为a，

∴AE=AF=a，B（1+a，0），F（1+a，2﹣a），

∴F点代入反比例函数得，（1+a）（2﹣a）=2，a=1或a=0（舍），

∴F（2，1）；

③Ⅰ、当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE不能全等．

假设矩形AEGF与矩形DOHE全等，则AE=OD=2，AF=DE=1，

则F点坐标为（3，1），

∴3×1≠2，

∴F点不在反比例函数的图象上，

Ⅱ、当AE＞EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能相似．

假设矩形AEGF与矩形DOHE相似，

∴，

设AF=t，则AE=2t

∴OB=1+2t，BF=2﹣t

∴F（1+2t，2﹣t），

将F点坐标代入反比例函数y=中，得（1+2t）（2﹣t）=2，

∴t=，或t=0（舍），

∴F（4，）．