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已知一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点,且与反比例函数的图象在第一象限交...

已知一次函数的图象分别交x轴、y轴于A、B两点,且与反比例函数的图象在第一象限交于点C(4,n),CDx轴于D.

(1)求m、n的值,并在给定的直角坐标系中作出一次函数的图象;

(2)如果点P、Q分别从A、C两点同时出发,以相同的速度沿线段AD、CA向D、A运动,设AP=k.

①k为何值时,以A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似?

②k为何值时,APQ的面积取得最大值并求出这个最大值.

 

(1)m=3,n=6,图像见解析;(2)见解析 【解析】 试题分析:(1)首先根据反比例函数的解析式求得n的值,再根据点C的坐标求得m的值.根据直线与坐标轴的交点坐标准确画出函数的图象; (2)①已知△AOB是直角三角形,要使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似,则∠APQ=90°或∠AQP=90°.根据题意表示对应的两条边,再根据相似三角形的对应边的比相等列方程求解;②首先根据相似三角形的对应边的比相等表示出AP边上的高,再进一步表示三角形的面积,根据函数解析式分析其最值. 【解析】 (1)把(4,n)代入反比例函数,得:n=6 把(4,6)代入一次函数y=x+m,得:m=3 ∴y=x+3. 令x=0,则y=3;令y=0,则x=﹣4.(如图) (2)①根据题意,得AP=CQ=k,根据勾股定理,得AC=10,则AQ=10﹣k 当∠APQ=90°时,则有,即,k=; 当∠AQP=90°时,则有,即,k=. ②作QM⊥x轴于M,则△AQM∽△ACD, 则有,即,QM=. 则S△APQ=××k=﹣k2+3k 所以当k=5时,则该三角形的面积的最大值是7.5.  
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