Question

如图1，函数y=﹣x+4的图象与坐标轴交于A、B两点，点M（2，m）是直线AB上一点，点N与点M关于y轴对称．

（1）填空：m=      ；

（2）点P在平面上，若以A、M、N、P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标；

（3）如图2，反比例函数的图象经过N、E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂）三点．且x₁＞x₂，点E、F关于原点对称，若点E到直线MN的距离是点F到直线MN的距离的3倍，求E、F两点的坐标．

Answer

（1）2．

（2）点P的坐标为（0，0）、（8，0）或（﹣4，4）．

（3）点E（4，﹣1），点F（﹣4，1）．

【解析】

试题分析：（1）由点M的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论；

（2）连接AN，分别以△AMN的三条边为对角线找平行四边形，由直线AB的解析式可找出点A的坐标，再由M、N关于y轴对称即可得出点N的坐标，根据平行四边形对角线互相平分的性质，结合点A、M、N的坐标即可得出点P的坐标；

（3）根据点N的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的解析式，由点E、F关于原点对称，可得出x1=﹣x2，y1=﹣y2，再根据M、N的坐标求出直线MN的关系式，分点F在直线MN的上方或下方两种情况，结合点E到直线MN的距离是点F到直线MN的距离的3倍，即可得出y1、y2的关系，由此即可得出点E、F的坐标．

【解析】
（1）∵点M（2，m）是直线AB：y=﹣x+4上一点，

∴m=﹣2+4，解得：m=2．

故答案为：2．

（2）连接AN，以A、M、N、P为顶点的平行四边形分三种情况，如图1所示．

∵直线y=﹣x+4的图象与坐标轴交于A、B两点，

∴A（4，0），B（0，4），

∵点N与点M关于y轴对称，点M（2，2），

∴N（﹣2，2）．

以A、M、N、P为顶点的平行四边形分三种情况：

①当线段AN为对角线时，

∵A（4，0）、M（2，2）、N（﹣2，2），

∴点P的坐标为（4﹣2﹣2，0+2﹣2），即（0，0）；

②当线段AM为对角线时，

∵A（4，0）、M（2，2）、N（﹣2，2），

∴点P的坐标为（4+2﹣（﹣2），0+2﹣2），即（8，0）；

③当线段MN为对角线时，

∵A（4，0）、M（2，2）、N（﹣2，2），

∴点P的坐标为（2﹣2﹣4，2+2﹣0），即（﹣4，4）．

综上可知：若以A、M、N、P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为（0，0）、（8，0）或（﹣4，4）．

（3）∵反比例函数的图象经过N（﹣2，2）、E（x1，y1）、F（x2，y2）三点，

∴k=﹣2×2=﹣4，

∴反比例函数解析式为．

∵点E、F关于原点对称，

∴x1=﹣x2，y1=﹣y2，

∵x1＞x2，

∴点E在第四象限，点F在第二象限．

直线MN的关系式为y=2，

点E到直线MN的距离是点F到直线MN的距离的3倍．

①当点F在直线MN的上方时，

点E到直线MN的距离是：2﹣y1，点F到直线MN的距离是：y2﹣2，

∴3（y2﹣2）=2﹣y1，y1=﹣y2，

∴y1=﹣4，y2=4，

∴点E（1，﹣4），点F（﹣1，4）；

②当点F在直线MN的下方时，

点E到直线MN的距离是：2﹣y1，点F到直线MN的距离是：2﹣y2，

∴3（2﹣y2）=2﹣y1，y1=﹣y2，

∴y1=﹣1，y2=1，

∴点E（4，﹣1），点F（﹣4，1）．