Question

将长为1，宽为a的长方形纸片（＜a＜1）如图那样折一下，剪下一个边长等于长方形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的长方形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后剩下的矩形为正方形，则操作终止．

（1）第一次操作后，剩下的矩形两边长分别为      ；（用含a的代数式表示）

（2）若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则a=     ；

（3）若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，试求a的值．

Answer

（1）第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1﹣a；（2）a=；（3）a的值为或；

【解析】

试题分析：（1）根据所给的图形可以看出每一次操作时所得正方形的边长都等于原矩形的宽，再根据长为1，宽为a的长方形即可得出剩下的长方形的长和宽；

（2）再根据（1）所得出的原理，得出第二次操作时正方形的边长为1﹣a，即可求出第二次操作以后剩下的矩形的两边的长分别是1﹣a和2a﹣1，并且剩下的长方形恰好是正方形，即可求出a的值；

（3）根据（2）所得出的长方形两边长分别是1﹣a和2a﹣1，分两种情况进行讨论：①当1﹣a＞2a﹣1时，第三次操作后，剩下的长方形两边长分别是（1﹣a）﹣（2a﹣1）和2a﹣1；②当1﹣a＜2a﹣1时，第三次操作后，剩下的长方形两边长分别是（2a﹣1）﹣（1﹣a）和1﹣a，并且剩下的长方形恰好是正方形，即可求出a的值．

【解析】
（1）∵长为1，宽为a的长方形纸片（＜a＜1），

∴第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1﹣a；

（2）∵第二次操作时正方形的边长为1﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1﹣a，2a﹣1，

此时矩形恰好是正方形，

∴1﹣a=2a﹣1，

解得a=；

（3）第二次操作后，剩下矩形的两边长分别为：1﹣a与2a﹣1．

①当1﹣a＞2a﹣1时，

由题意得：（1﹣a）﹣（2a﹣1）=2a﹣1，

解得：．

当时，1﹣a＞2a﹣1．所以，是所求的一个值；

②当1﹣a＜2a﹣1时，

由题意得：（2a﹣1）﹣（1﹣a）=1﹣a，

解得：．

当时，1﹣a＜2a﹣1．所以，是所求的一个值；

所以，所求a的值为或；

故答案为（1）a与1﹣a；（2）．