Question

如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点B作BP∥AC，过点C作CP∥BD，BP与CP相交于点P．

（1）判断四边形BPCO的形状，并说明理由；

（2）若将平行四边形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，得到的四边形BPCO是什么四边形，并说明理由；

（3）若得到的是正方形BPCO，则四边形ABCD是      ．（选填平行四边形、矩形、菱形、正方形中你认为正确的一个）

Answer

（1）四边形BPCO为平行四边形；（2）四边形BPCO为矩形；（3）四边形ABCD是正方形

【解析】

试题分析：（1）根据两组对边互相平行，即可得出四边形BPCO为平行四边形；

（2）根据菱形的对角线互相垂直，即可得出∠BOC=90°，结合（1）结论，即可得出四边形BPCO为矩形；

（3）根据正方形的性质可得出OB=OC，且OB⊥OC，再根据平行四边形的性质可得出OD=OB，OA=OC，进而得出AC=BD，再由AC⊥BD，即可得出四边形ABCD是正方形．

【解析】
（1）四边形BPCO为平行四边形，理由如下：

∵BP∥AC，CP∥BD，

∴四边形BPCO为平行四边形．

（2）四边形BPCO为矩形，理由如下：

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，则∠BOC=90°，

由（1）得四边形BPCO为平行四边形，

∴四边形BPCO为矩形．

（3）四边形ABCD是正方形，理由如下：

∵四边形BPCO是正方形，

∴OB=OC，且OB⊥OC．

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OD=OB，OA=OC，

∴AC=BD，

又∵AC⊥BD，

∴四边形ABCD是正方形．