Question

在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形OABC的位置如图所示，点A，C的坐标分别为（10，0），（0，8）．点P是y轴正半轴上的一个动点，将△OAP沿AP翻折得到△O′AP，直线BC与直线O′P交于点E，与直线OA'交于点F．

（1）当点P在y轴正半轴，且∠OAP=30°时，求点O′的坐标；

（2）当O′落在直线BC上时，求直线O′A的解析式；

（3）当点P在矩形OABC边OC的运动过程中，是否存在某一时刻，使得线段CF与线段OP的长度相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）点O′的坐标为（5，5）．（2）直线O′A的解析式为y=x﹣．（3）当点P在矩形OABC边OC的运动过程中，存在某一时刻，使得线段CF与线段OP的长度相等，点P的坐标为（0，）或（0，）．

【解析】

试题分析：（1）连接O′O，作O′G⊥OA于点G，根据AO=AO′，∠O′AO=2∠OPA=60°，即可得出△O′AO是等边三角形，再结合点A的坐标即可得出点O′的坐标；

（2）设直线O′A的解析式为y=kx+b，根据勾股定理可得出BO′的长度，再根据O′在线段BC上和O′在CB延长线上分两种情况考虑，由此即可得出点O′的坐标，结合点AO′的坐标利用待定系数法即可得出直线O′A的解析式；

（3）假设存在，设点P（0，m），根据点O′在直线BC的上下两侧来分类讨论．根据平行线的性质找出相等的角从而得出两三角形相似，再根据相似三角形的性质（或等角的三角函数值相等）找出边与边之间的关系，由此即可列出关于m的方程，解方程即可得出结论．

【解析】
（1）连接O′O，作O′G⊥OA于点G，如图1所示．

∠O′AO=2∠OPA=60°，AO=AO′，

∴△O′AO是等边三角形，

∵点A的坐标为（10，0），

∴OA=10，OG=OA=5，O′G=OA=5，

∴点O′的坐标为（5，5）．

（2）设直线O′A的解析式为y=kx+b．

在Rt△ABO′中，AO′=10，AB=8，

∴BO′═6，

①当O′在线段BC上时，CO′=10﹣6=4，

∴点O′的坐标为（4，8），

则有，解得：，

∴此时直线O′A的解析式为y=﹣x+；

②当O′在CB延长线上时，CO′=10+6=16，

∴点O′的坐标为（16，8），

则有，解得：

∴此时直线O′A的解析式为y=x﹣．

（3）假设存在，由点O′的位置不同分两种情况：

①当点O′在BC的上方时，设点P（0，m），过点O′作O′G⊥OA于点G，过点P作PQ⊥O′G于点Q，如图2所示．

∵OP=CF，

∴BF=BC﹣CF=10﹣m，

∵点C（0，8），

∴AB=OC=8．

在Rt△ABF中，AB=8，BF=10﹣m，

∴AF==．

∵O′G⊥x轴，AB⊥OA，

∴O′G∥AB，

∴△O′GA∽△ABF，

∴，

∴O′G=，AG=，

∴O′Q=O′G﹣OP=﹣m，PQ=OA﹣AG=10﹣．

∵∠PO′Q+∠O′PQ=90°，∠PO′Q+∠AO′G=90°，

∴∠O′PQ=∠AO′G=∠FAB，

∴，

∴PQ==10﹣，

解得：m1=，m2=10，

经检验m1=是分式方程的解，

此时点P的坐标为（0，）；

②当点O′在BC的下方时，设AF与y轴的交点为M，如图3所示．

设点P（0，m），则CF=OP=m，

BF=10+m，AB=8，OA=10，AF==．

∵BC∥AO，

∴∠AFB=∠MAO，

∴，

∴OM=，

∴PM=OM﹣OP=﹣m，

∵∠MPO′与∠AMO互余，

∴∠MPO′=∠AFB，

∴，即，

解得：m3=，m4=﹣10（舍去），

经检验m3=是分式方程的解，

此时点P的坐标为（0，）．

综上可知：当点P在矩形OABC边OC的运动过程中，存在某一时刻，使得线段CF与线段OP的长度相等，点P的坐标为（0，）或（0，）．