Question

你能求（x﹣1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先分别计算下列各式的值：

①（x﹣1）（x+1）=x²﹣1；

②（x﹣1）（x²+x+1）=x³﹣1；

③（x﹣1）（x³+x²+x+1）=x⁴﹣1；

…

由此我们可以得到：（x﹣1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x+1）=      ．

请你利用上面的结论，再完成下面两题的计算：

（1）（﹣2）⁵⁰+（﹣2）⁴⁹+（﹣2）⁴⁸+…+（﹣2）+1．

（2）若x³+x²+x+1=0，求x²⁰¹⁶的值．

Answer

（1）；（2）1．

【解析】

试题分析：根据已知三个等式规律可得（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）=x100﹣1；

（1）原式变形为﹣×（﹣2﹣1）[（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1]，再根据题中规律可得结果；

（2）由x3+x2+x+1=0可得（x﹣1）（x3+x2+x+1）=0即x4﹣1=0，求得x的值代入计算即可．

【解析】
根据题意知，（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x+1）=x100﹣1；

（1）原式=﹣×（﹣2﹣1）[（﹣2）50+（﹣2）49+（﹣2）48+…+（﹣2）+1]

=﹣×[（﹣2）51﹣1]

=；

（2）∵x3+x2+x+1=0，

∴（x﹣1）（x3+x2+x+1）=0，即x4﹣1=0，

解得：x=1（不合题意，舍去）或x=﹣1，

则x2016=（﹣1）2016=1．

故答案为：x100﹣1．