Question

已知反比例函数y=的图象与一次函数y=k₂x+m的图象交于A（a，1）、B（，﹣3）两点，连结AO．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）根据图象直接写出k₂x+m﹣＜0的x的取值范围；

（3）设点C在y轴上，且与点A、O构成等腰三角形，请直接写出点C的坐标．

Answer

（1）反比例函数关系式为y=﹣，一次函数关系式为y=﹣3x﹣2；（2）﹣1＜x＜0或x＞；（3）点C的坐标为：（0，﹣）或（0，）或（0，2）或（0，1）．

【解析】

试题分析：（1）将点A（﹣1，a）、B（，﹣3）代入反比例函数y=中得：﹣3×=（﹣1）×a=k1，可求k1、a；再将点A（﹣1，a）、B（，﹣3）代入y2=k2x+m中，列方程组求k2、m即可；

（2）根据图象得到一次函数在反比例函数下方时x的取值范围即可求解；

（3）分三种情况：①OA=OC；②AO=AC；③CA=CO；讨论可得点C的坐标．

【解析】
（1）∵反比例函数y=的图象经过B（，﹣3），

∴k1=3××（﹣3）=﹣3，

∵反比例函数y=的图象经过点A（﹣1，a），

∴a=1．

由直线y2=k2x+m过点A，B得：，

解得．

∴反比例函数关系式为y=﹣，一次函数关系式为y=﹣3x﹣2；

（2）k2x+m﹣＜0的x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞；

（3）OA==，

如图，线段OA的垂直平分线与y轴的交点，有1个，点C的坐标为：（0，1）；

以点A为圆心、AO长为半径的圆与y轴的交点，有1个，点C的坐标为：（0，2）；

以点O为圆心、OA长为半径的圆与y轴的交点，有2个，点C的坐标为：（0，﹣）或（0，）．

故点C在y轴上，且与点A、O构成等腰三角形，点C的坐标为：（0，﹣）或（0，）或（0，2）或（0，1）．