Question

如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a=+﹣1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．

（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S_{四边形ABDC}．

（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S_△PAB=S_{四边形ABDC}？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由．

Answer

（1）8；（2）点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；（3）比值不变．

【解析】

试题分析：（1）根据被开方数大于等于0列式求出b，再求出a，从而得到A、B的坐标，再根据向上平移纵坐标加，向右平移横坐标加求出点C、D的坐标即可，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；

（2）根据三角形的面积公式列出方程求出OP，再分点P在y轴正半轴和负半轴两种情况讨论求解；

（3）根据平移的性质可得AB∥CD，再过点P作PE∥AB，根据平行公理可得PE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，然后求出∠CPO=∠DCP+∠BOP，从而判断出比值不变．

【解析】
（1）由题意得，3﹣b≥0且b﹣3≥0，

解得b≤3且b≥3，

∴b=3，

a=﹣1，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∵点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，

∴点C（0，2），D（4，2）；

∵AB=3﹣（﹣1）=3+1=4，

∴S四边形ABDC=4×2=8；

（2）∵S△PAB=S四边形ABDC，

∴×4•OP=8，

解得OP=4，

∴点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；

（3）=1，比值不变．

理由如下：由平移的性质可得AB∥CD，

如图，过点P作PE∥AB，则PE∥CD，

∴∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，

∴∠CPO=∠CPE+∠OPE=∠DCP+∠BOP，

∴=1，比值不变．