Question

一张如图1的长方形铁皮，四个角都剪去边长为30厘米的正方形，再四周折起，做成一个有底无盖的铁盒如图2，铁盒底面长方形的长是4a（cm），宽是3a（cm），这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积．

（1）请用a的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积；

（2）若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆，每元钱可漆的面积为（cm²），则油漆这个铁盒需要多少钱（用a的代数式表示）？

（3）铁盒的底面积是全面积的几分之几（用a的代数式表示）？若铁盒的底面积是全面积的，求a的值；

（4）是否存在一个正整数a，使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍？若存在，请求出这个a，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）12a2+420a+3600；

（2）600a+21000（元）；

（3）a=105；

（4）存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时a=35或7或5或1．

【解析】

试题分析：（1）根据图形表示出原长方形铁皮的面积即可；

（2）根据原长方形铁皮的面积剪去四个小正方形的面积，求出铁盒的表面积，乘以单价即可得到结果；

（3）用铁盒的底面积除以全面积即可得出底面积是全面积的几分之几，再根据铁盒的底面积是全面积的，求出a的值即可；

（4）假设存在，列出铁盒的全面积和底面积的公式，求整数倍数即可．

【解析】
（1）原铁皮的面积是（4a+60）（3a+60）=12a2+420a+3600；

（2）油漆这个铁盒的表面积是：12a2+2×30×4a+2×30×3a=12a2+420a，

则油漆这个铁盒需要的钱数是：（12a2+420a）÷=（12a2+420a）×=600a+21000（元）；

（3）铁盒的底面积是全面积的=；

根据题意得：=，

解得a=105；

（4）铁盒的全面积是4a×3a+4a×30×2+3a×30×2=12a2+420a，

底面积是12a2，

假设存在正整数n，使12a2+420a=n（12a2）

则（n﹣1）a=35，

则a=35，n=2或a=7，n=6或a=5，n=8或a=1，n=36

所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍，这时a=35或7或5或1．