Question

如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．

（1）试猜想线段BG和AE的数量关系是      ；

（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°），

①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；

②若BC=DE=4，当AE取最大值时，求AF的值．

Answer

（1）BG=AE；（2）①见解析；②AF=2．

【解析】

试题分析：（1）由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；

（2）①如图2，连接AD，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论；

②由①可知BG=AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出结论．

【解析】
（1）BG=AE．

理由：如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，

∴AD⊥BC，BD=CD，

∴∠ADB=∠ADC=90°．

∵四边形DEFG是正方形，

∴DE=DG．

在△BDG和△ADE中，

，

∴△ADE≌△BDG（SAS），

∴BG=AE．

故答案为：BG=AE；

（2）①成立BG=AE．

理由：如图2，连接AD，

∵在Rt△BAC中，D为斜边BC中点，

∴AD=BD，AD⊥BC，

∴∠ADG+∠GDB=90°．

∵四边形EFGD为正方形，

∴DE=DG，且∠GDE=90°，

∴∠ADG+∠ADE=90°，

∴∠BDG=∠ADE．

在△BDG和△ADE中，

，

∴△BDG≌△ADE（SAS），

∴BG=AE；

②∵BG=AE，

∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．

如图3，当旋转角为270°时，BG=AE．

∵BC=DE=4，

∴BG=2+4=6．

∴AE=6．

在Rt△AEF中，由勾股定理，得

AF==，

∴AF=2．