Question

如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=+bx+c经过B点，且顶点在直线x=上．

（1）求抛物线对应的函数关系式；

（2）若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；

（3）在（2）的前提下，若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N．设点M的横坐标为t，MN的长度为l．求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标．

Answer

（1）y=﹣x+4；（2）点C和点D在所求抛物线上；（3）点M的坐标为（，）．

【解析】

试题分析：（1）已知了抛物线上A、B点的坐标以及抛物线的对称轴方程，可用待定系数法求出抛物线的解析式．

（2）首先求出AB的长，将A、B的坐标向右平移AB个单位，即可得出C、D的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可．

（3）根据C、D的坐标，易求得直线CD的解析式；那么线段MN的长实际是直线BC与抛物线的函数值的差，可将x=t代入两个函数的解析式中，得出的两函数值的差即为l的表达式，由此可求出l、t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出l取最大值时，点M的坐标．

【解析】
（1）∵抛物线y=+bx+c的顶点在直线x=上，

∴可设所求抛物线对应的函数关系式为y=+m

∵点B（0，4）在此抛物线上，

∴4=×+m

∴m=﹣

∴所求函数关系式为：y=﹣=﹣x+4

（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，

∴AB==5

∵四边形ABCD是菱形

∴BC=CD=DA=AB=5

∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）；

当x=5时，y=×52﹣×5+4=4

当x=2时，y=×22﹣×2+4=0

∴点C和点D在所求抛物线上；

（3）设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b′，

则；

解得：；

∴y=x﹣

∵MN∥y轴，M点的横坐标为t，

∴N点的横坐标也为t；

则yM=﹣t+4，yN=t﹣，

∴l=yN﹣yM=t﹣﹣（﹣t+4）=﹣+t﹣=﹣+

∵﹣＜0，

∴当t=时，l最大=，yM=﹣t+4=．

此时点M的坐标为（，）．