Question

在矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC=                     ．（结果保留根号）

Answer

6+3

【解析】

试题分析：先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG=BC+CG进行计算即可．延长EF和BC，交于点G

∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∴∠ABE=∠AEB=45°，∴AB=AE=9，

∴直角三角形ABE中，BE==，又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，∴∠BEG=∠DEF

∵AD∥BC∴∠G=∠DEF∴∠BEG=∠G∴BG=BE=

由∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，可得△EFD∽△GFC∴

设CG=x，DE=2x，则AD=9+2x=BC ∵BG=BC+CG ∴=9+2x+x 解得x=

∴BC=9+2（﹣3）=

考点：（1）矩形的性质；（2）等腰三角形的判定；（3）相似三角形的判定与性质