Question

已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．

（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；

（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；

（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．

Answer

（1）AE=EF=AF；（2）证明过程见解析；（3）3-

【解析】

试题分析：（1）结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形；（2）欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可；（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF•cos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题．

试题解析：（1）结论AE=EF=AF．

理由：如图1中，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，

∴△ABC，△ADC是等边三角形， ∴∠BAC=∠DAC=60° ∵BE=EC， ∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，

∵∠EAF=60°， ∴∠CAF=∠DAF=30°， ∴AF⊥CD， ∴AE=AF（菱形的高相等），

∴△AEF是等边三角形， ∴AE=EF=AF．

（2）如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°， ∴∠BAE=∠CAE，

在△BAE和△CAF中，， ∴△BAE≌△CAF， ∴BE=CF．

（3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H， ∵∠EAB=15°，∠ABC=60°， ∴∠AEB=45°，

在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4， ∴BG=2，AG=2，在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，

∴AG=GE=2， ∴EB=EG﹣BG=2﹣2， ∵△AEB≌△AFC，

∴AE=AF，EB=CF=2﹣2，∠AEB=∠AFC=45°， ∵∠EAF=60°，AE=AF， ∴△AEF是等边三角形，

∴∠AEF=∠AFE=60° ∵∠AEB=45°，∠AEF=60°， ∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，

在RT△EFH中，∠CEF=15°， ∴∠EFH=75°， ∵∠AFE=60°， ∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，

∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°， 在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2﹣2，

∴FH=CF•cos30°=（2﹣2）•=3﹣． ∴点F到BC的距离为3﹣．

考点：（1）四边形综合题；（2）三角形全等