Question

如图1，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F，点O是BD的中点，直线OK∥AF，交AD于点K，交BC于点G．

（1）求证：①△DOK≌△BOG；②AB+AK=BG；

（2）若KD=KG，BC=4﹣．

①求KD的长度；

②如图2，点P是线段KD上的动点（不与点D、K重合），PM∥DG交KG于点M，PN∥KG交DG于点N，设PD=m，当S_△PMN=时，求m的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）①2，②1.

【解析】

试题分析：（1）①根据AAS可判定△DOK≌△BOG，②易证四边形AFGK为平行四边形，从而得到AK=FG，而AB=BF，所以AB+AK=BG；（2）①由（1）可知AB=BF，∴AF=KG=DK=BG=AB，AK=FG=AB-AB，再利用AK+DK=AD=BC可求得AB的长，DK长度可求出，②过点G作GI⊥KD，求得S△DKG的值，再根据四边形PMGN是平行四边形，以及△DKG∽△PKM∽△DPN，求得S△DPN和S△PKM的表达式，最后根据等量关系S平行四边形PMGN=S△DKG﹣S△DPN﹣S△PKM，列出关于m的方程，求得m的值即可．

试题解析：（1）①∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠KDO=∠GBO，∠DKO=∠BGO.∵点O是BD的中点，∴DO=BO

∴△DOK≌△BOG（AAS）.②∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC

又∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠BFA=45°，∴AB=BF.∵OK∥AF，AK∥FG，∴四边形AFGK是平行四边形.∴AK=FG.

∵BG=BF+FG，∴BG=AB+AK；（2）①由（1）得，四边形AFGK是平行四边形.∴AK=FG，AF=KG，又∵△DOK≌△BOG，且KD=KG.∴AF=KG=KD=BG.设AB=a，则AF=KG=KD=BG=a.∴AK=FG=BG-BF=a-a，∵AK+DK=AD=BC，∴a-a+a=4-，解得a=.∴KD=a=2.②过点G作GI⊥KD于点I.由（2）①可知KD=AF=2，∴GI=AB=

∴S△DKG=×2×=.∵PD=m，∴PK=2﹣m.∵PM∥DG，PN∥KG，∴四边形PMGN是平行四边形，△DKG∽△PKM∽△DPN.∴，即S△DPN=（）2 .同理S△PKM=（）2 .∵S△PMN=.∴S平行四边形PMGN=2S△PMN=2×=.又∵S平行四边形PMGN=S△DKG﹣S△DPN﹣S△PKM.∴，即m2-2m+1=0，解得m1=m2=1.

∴当S△PMN=时，m的值为1.

考点：1矩形；2平行四边形；3相似三角形的性质；4一元一次方程；5一元二次方程.