Question

如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠FAB＝15°，连接OF交AB于点E，过点C作CD∥OF交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H.

（1）求证：CD是半圆O的切线；

（2）若DH＝，求EF的长和半径OA的长.

Answer

（1）证明过程见解析；（2）EF=2-；OA=2.

【解析】试题分析：（1）连接OB，根据已知条件得到△AOB是等边三角形，得到∠AOB=60°，根据圆周角定理得到∠AOF=∠BOF=30°，根据平行线的性质得到OC⊥CD，由切线的判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠DBC=∠EAO=60°，解直角三角形得到BD=BC=AB，推出AE=AD，根据相似三角形的性质得到，求得EF=2﹣，根据直角三角形的性质即可得到结论．

试题解析：（1）连接OB， ∵OA=OB=OC， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴AB=OC，

∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∵∠FAD=15°， ∴∠BOF=30°， ∴∠AOF=∠BOF=30°，

∴OF⊥AB， ∵CD∥OF， ∴CD⊥AD， ∵AD∥OC， ∴OC⊥CD， ∴CD是半圆O的切线；

（2）∵BC∥OA， ∴∠DBC=∠EAO=60°， ∴BD=BC=AB， ∴AE=AD， ∵EF∥DH，∴△AEF∽△ADH，

∴， ∵DH=6﹣3， ∴EF=2﹣， ∵OF=OA， ∴OE=OA﹣（2﹣），

∵∠AOE=30°， ∴==， 解得：OA=2．

考点：（1）切线的判定；（2）平行四边形的性质；（3）直角三角形的性质；（4）等边三角形的判定和性质