Question

已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x²+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．

（1）求k的取值范围；

（2）当方程②有两个整数根x₁、x₂，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；

（3）当方程②有两个实数根x₁、x₂，满足x₁（x₁﹣k）+x₂（x₂﹣k）=（x₁﹣k）（x₂﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．

Answer

（1）k≥﹣1且k≠1且k≠2；（2）x=0、1、2、3；（3）不成立；理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k的取值；（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和﹣1，分别代入方程后解出即可；（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算求出m的值，做出判断．

试题解析：（1）∵关于x的分式方程的根为非负数， ∴x≥0且x≠1，

又∵x=≥0，且≠1， ∴解得k≥﹣1且k≠1，

又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0， ∴k≠2，

综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；

（2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，

∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，

∴△≥0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0， ∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4），

∵x1、x2是整数，k、m都是整数， ∵x1+x2=3，x1•x2==1﹣， ∴1﹣为整数，

∴m=1或﹣1， ∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0， x2﹣3x=0，

x（x﹣3）=0， x1=0，x2=3；

把m=﹣1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：﹣x2+3x﹣2=0， x2﹣3x+2=0， （x﹣1）（x﹣2）=0， x1=1，x2=2；

（3）|m|≤2不成立，理由是：

由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2， ∵k是负整数， ∴k=﹣1，

（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，

∴x1+x2=﹣==﹣m，x1x2==，

x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k）， x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，

x12+x22═x1x2+k2， （x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2， （x1+x2）2﹣3x1x2=k2，

（﹣m）2﹣3×=（﹣1）2， m2﹣4=1， m2=5， m=±， ∴|m|≤2不成立．

考点：一元二次方程的根与系数的关系