Question

阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=-x+4．

问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线 经过B、C两点，顶点D在正方形内部．

（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；

（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；

（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？

Answer

（1）x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2）y=（x﹣2）2+3；（3）或

【解析】试题分析：（1）根据特征线直接求出点D的特征线；（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；（3）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可．

试题解析：（1）∵点D（m，n）， ∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；

（2）点D有一条特征线是y=x+1， ∴n﹣m=1， ∴n=m+1

∵抛物线解析式为， ∴y=（x﹣m）2+m+1，

∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n）， ∴B（2m，2m），

∴（2m﹣m）2+n=2m，将n=m+1带入得到m=2，n=3； ∴D（2，3）， ∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+3

（3）如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时，

根据题意可得，D（2，3）， ∴OA′=OA=4，OM=2， ∴∠A′OM=60°， ∴∠A′OP=∠AOP=30°，

∴MN==， ∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=．

当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，

∵顶点落在OP上， ∴A′与D重合， ∴A′（2，3）， 设P（4，c）（c＞0），

由折叠有，PD=PA， ∴=c， ∴c=， ∴P（4，） ∴直线OP解析式为y=，

∴N（2，）， ∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣=，

抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上．

考点（1）折叠的性质；（2）正方形的性质；（3）特征线的理解