Question

如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD∥AB，连接AC、AD、OD，其中AC=CD，过点B的切线交CD的延长线于E．

（1）求证：DA平分∠CDO；

（2）若AB=12，求图中阴影部分的周长之和（参考数据：π=3.1，=1.4，=1.7）．

Answer

（1）详见解析；（2）26.5．

【解析】

试题分析：（1）根据平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠CDA=∠DAO，∠DAO=∠ADO，即可证得结论．（2）易证∠CDA=∠BAD=∠CAD，可得==，再证明∠DOB=60°，即可得△BOD是等边三角形，由此即可解决问题．

试题解析：证明：（1）∵CD∥AB，

∴∠CDA=∠BAD，

又∵OA=OD，

∴∠ADO=∠BAD，

∴∠ADO=∠CDA，

∴DA平分∠CDO．

（2）如图，连接BD，

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，

∵AC=CD，

∴∠CAD=∠CDA，

又∵CD∥AB，

∴∠CDA=∠BAD，

∴∠CDA=∠BAD=∠CAD，

∴==，

又∵∠AOB=180°，

∴∠DOB=60°，

∵OD=OB，

∴△DOB是等边三角形，

∴BD=OB=AB=6，

∵=，

∴AC=BD=6，

∵BE切⊙O于B，

∴BE⊥AB，

∴∠DBE=∠ABE﹣∠ABD=30°，

∵CD∥AB，

∴BE⊥CE，

∴DE=BD=3，BE=BD×cos∠DBE=6×=3，

∴的长==2π，

∴图中阴影部分周长之和为2π+6+2π+3+3=4π+9+3=4×3.1+9+3×1.7=26.5．

考点：切线的性质；弧长的计算．